Wie Berechnet Man Die Varianz

Die Varianz verstehen und berechnen - mit Beispiel

Veröffentlicht am vi. April 2020 von Valerie Benning. Aktualisiert am i. Juni 2022.

Dice Varianz gibt an, wie sich deine Beobachtungswerte um den Mittelwert aller Beobachtungen verteilen.

Da sie die Streuung der Werte um den Mittelwert beschreibt, gehört die Varianz zu den Streuungsmaßen. Für das Interpretieren statistischer Ergebnisse in deiner Bachelorarbeit oder deiner Masterarbeit solltest du auch Lageparameter verwenden.

\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(7-4)^2+(5-4)^2+(3-4)^2} {5-1}=\frac{4+1+9+1+1} {4}=\frac{16} {4}=4 — Beispiel

Die Varianz berechnen

Formel zur Stichprobenvarianz
$s^2=\frac{1} {n-1}\sum^n _{i=1}(x_i-\bar{x})^2$
$s^2$	Varianz
$n$	Gesamtzahl der Beobachtungen
$X_i$	Beobachtungswert
$\bar{x}$	arithmetisches Mittel (Mittelwert) der Stichprobe

Beachte

N für Grundgesamtheit, north – 1 für Stichprobenvarianz

In unseren Beispielen bestimmen wir die Varianz einer Stichprobe, also eines Teils, den wir aus einer Grundgesamtheit entnehmen. Um dice Varianz für die Grundgesamtheit zu bestimmen, wird eine leicht andere Formel verwendet.

Für die Berechnung ist es vor allem wichtig, zu beachten, dass wir bei der Varianz für dice Grundgesamtheit durch dice Gesamtanzahl N und bei der Stichprobenvarianz durch Gesamtanzahl an Beobachtungen minus 1 (n – ane) teilen.

Formel zur Varianz der Grundgesamtheit
$\sigma^2 =\frac{1} {N}\sum^N _{i=1}(x_i-\mu)^2$
$\sigma^2$	Varianz
$N$	Gesamtzahl
$X_i$	Beobachtungswert
$\mu$	arithmetisches Mittel (Mittelwert) der Grundgesamtheit

Die Varianz einer Stichprobe in fünf Schritten bestimmen

Nehmen wir an, wir haben acht Personen nach ihrem Modify gefragt und folgende Antworten erhalten:

Person	1	2	3	4	five	6	7	8
Change	18	24	22	18	22	25	xix	20

In der Abbildung sehen wir die Verteilung der verschiedenen Altersangaben der Personen. Dice rote Linie zeigt das arithmetische Mittel des Alters in der Gruppe.

varianz-beispielverteilung

Allgemein

Beispiel

Bestimme zunächst den Mittelwert x̄ deiner Beobachtungswerte.

Wir berechnen den Mittelwert (x̄), indem wir alle Altersangaben addieren und dann dice Summe durch dice Gesamtanzahl der Personen teilen.

$\bar{x}=\frac{18+24+22+18+22+25+19+20} {8}=\frac{168} {8}=21$

two

Berechne nun die Abweichungen der Beobachtungswerte vom Mittelwert.

Subtrahiere dazu den Mittelwert von den einzelnen Beobachtungswerten.

Nun bestimmen wir die Abweichungen der einzelnen Altersangaben vom Mittelwert x̄ = 21. Dazu ziehen wir den Mittelwert von jeder Altersangabe ab.

18 – 21 = -3	22 – 21 = 1
24 – 21 = 3	25 – 21 = iv
22 – 21 = 1	19 – 21 = -2
18 – 21 = -3	20 – 21 = -ane

Da die Varianz nicht negativ sein kann, quadrieren wir das Ergebnis.

Wir quadrieren die Abweichungen, d. h. wir rechnen (Wert aus Schritt 2)².

(-3)² = 9	one² = 1
three² = 9	four^two = 16
ane² = ane	(-ii)ⁱⁱ = 4
(-three)² = 9	(-1)² = 1

Bilde nun die Summe aus den quadrierten Abweichungen.

Wir addieren alle Ergebnisse aus Schritt iii.

9 + 9 + ane + 9 + one + sixteen + four + i = 50

Nimm die Gesamtanzahl der Beobachtungen minus one und teile dice Summe aus Schritt 4 durch diese Zahl.

Wir teilen die Summe aus Schritt 4 durch seven, da wir insgesamt acht Personen nach dem Alter gefragt haben.

viii – 1 = 7

$\frac{50} {7}=7.14[Jahre^2]$

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Von der Varianz zur Standardabweichung

In dem Beispiel sehen wir, dass die Varianz aufgrund der Einheit (z.B. Jahre ²) nicht sehr aussagekräftig ist.

Um eine Aussage über die Streuung machen zu können, müssen wir daher zunächst die Standardabweichung aus der Varianz berechnen.

Merke

Die Standardabweichung erhalten wir, indem wir die Wurzel aus der Varianz ziehen.

Für unser Beispiel bedeutet dies:

Varianz	$7.14 [Jahre^2]$
Standardabweichung	$\sqrt{7.14} \approx 2.67 [Jahre]$

Die Varianz in Excel berechnen

In Excel können wir dice Varianz unseres Datensatzes mithilfe der Funktion VARIANZ bestimmen.

Schreibe dazu =VARIANZ oder =VAR und gib in den Klammern die Zellen mit den Werten an, für die du dice Varianz bestimmen willst.

Da wir in unserem Beispiel die Varianz aller Altersangaben bestimmen wollen, fügen wir B3:I3 in den Klammern ein und erhalten eine Varianz von 7.14.

beispiel-varianz-in-excel-berechnen

Häufig gestellte Fragen

Wie kann ich dice Varianz bestimmen?: Wir können die Varianz in fünf Schritten bestimmen:

Mittelwert aller Beobachtungswerte berechnen.

Abweichungen der Beobachtungswerte vom Mittelwert bestimmen.

Abweichungen (aus Schritt 2) quadrieren.

Quadrierte Abweichungen (aus Schritt three) addieren.

Summe (aus Schritt iv) durch Gesamtanzahl der Beobachtungen – 1 teilen.